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發(fā)布時間：2024/12/11 11:11:04
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今天給大家分享一個數(shù)學中常見且有趣的模型——將軍飲馬。唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題。如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，求怎樣走才能使總路程最短。
圖1
我們的解法是：如圖2，作AO垂直交L（河流）于點O，延長AO至A’，使A’O=AO，連結(jié)A’B交L于C點，則C點即為所求的點，連結(jié)AC，則AC+CB為最短路程。
圖2
為什么要這么做呢？我們知道A和A’是關(guān)于河流L對稱的，所以L相當于線段AA'的中垂線，所以AC=A’C（中垂線的性質(zhì)），所以AC+CB可以轉(zhuǎn)化為A’C+CB，又由于兩點之間線段最短，所以連結(jié)A’B與L交于點C，那么C點為最優(yōu)的飲水點。
如果將軍在河邊的另外任一點C’飲馬（如圖3），所走的路程就是AC’+C’B，但是，AC’+C’B=A’C’+C’B＞A’B=A’C+CB=AC+CB（三角形兩邊之和大于第三邊）。由此可見，在C點外任何一點C’飲馬，所走的路程都要遠一些。
圖3
圖2就是我們將軍飲馬中最經(jīng)典的“兩定一動”模型的解題方法，很多學生可能遇到過這類題目，并且記住了方法，但是不理解本質(zhì)的數(shù)學邏輯，所以遇到一些變形就識別不出，經(jīng)過我上面的分享，大家應(yīng)該對將軍飲馬有了更深的理解。
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